问题
解答题
| 已知函数f（x）=log2x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列．数列{bn}满足bn=an+3n(n∈N*)． （1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}不是等比数列； （2）令cn=
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答案
（1）由题意可得 f（an）=n=log2an，∴an=2n，故数列{an}是等比数列．
假设数列{bn}是等比数列，bn=2n+3n，则有 b22=b1b3．
由因为 b22=132，b1b3=5×35，∴b22≠b1b3，与假设矛盾，所以假设不成立．
∴数列{bn}不是等比数列．（6分）
（2）∵cn=
，Sn=c1+c2+c3+…+cn，2n-1 an
∴Sn=
+1 2
+3 22
+…+5 23
+2n-3 2n-1
，…①2n-1 2n
∴
Sn=1 2
+1 22
+3 23
+…+5 24
+2n-3 2n
，…②，2n-1 2n+1
①-②得
Sn=1 2
+1 2
+2 22
+2 23
+…+2 24
-2 2n 2n-1 2n+1
=
+(1 2
+1 21
+1 22
+…+1 23
)-2 2n-1 2n-1 2n+1
=
，
+1 2
-
[1-(1 2
)n-1]1 2 1- 1 2
=2n-1 2n+1
+1-(1 2
)n-1-1 2
=2n-1 2n+1
-3 2 2n+3 2n+1
∴Sn=3-
＜3．（12分）2n+3 2n