（1）依条件得：a3k-1=

1

23k-1

(k∈N*)，

∴无穷等比子数列{a_3k-1}的首项为a₂=

1

22

，公比为

1

23

，

则无穷等比数列{a_3k-1}各项的和为：

a2

1- 1 23

=

1 22

7 8

=

2

7

；

（2）设此子数列的首项为a₁，公比为q，由条件得：0＜q≤

1

2

，

则

1

2

≤1-q＜1，即 1＜

1

1-q

≤2，

∴a1=

1

7

(1-q)∈[

1

14

 ，

1

7

)

而 a1=

1

2m

 (m∈N*)，

则 a1=

1

8

 ，q=

1

8

，

所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为

1

8

，

其通项公式为an=(

1

8

)n，n∈N^*；

（3）问题：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1．设这两个子数列的首项、公比分别为

1

2a

、

1

2m

和

1

2b

、

1

2n

，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，则

1 2a

1- 1 2m

•

1 2b

1- 1 2n

=1⇒

2(m+n)-(a+b)

(2m-1)(2n-1)

=1⇒2(m+n)-(a+b)=(2m-1)(2n-1)，

因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数．

故等式不可能成立，即假设错误，

所以这样的两个子数列不存在．