问题
解答题
已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；
（Ⅱ）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项公式．
答案
（Ⅰ）证明：由已知，得an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2．
∵a1=2，∴an+1＞1．
两边取对数，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），
即
=2.lg(an+1+1) lg(an+1)
数列{lg（1+an）}是以lg3为首项，
公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
lg(an+1)=2n-1lg3=lg32n-1，
∴an+1=32n-1，
∴an=32n-1-1．
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）
=3×321×322××32n-1
=31+2+22++2n-1=32n-1．