问题
解答题
已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．
（1）求证：{an+1+2an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|++|bn|＜m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．
答案
（1）由an+1=an+6an-1，an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2）
∵a1=5，a2=5∴a2+2a1=15
故数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列（5分）
（2）由（1）得an+1+2an=5•3n由待定系数法可得（an+1-3n+1）=-2（an-3n）
即an-3n=2（-2）n-1故an=3n+2（-2）n-1=3n-（-2）n（9分）
（3）由3nbn=n（3n-an）=n[3n-3n+（-2）n]=n（-2）n，
∴bn=n（-
）n2 3
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|
=（-
）+2（2 3
）2+3（2 3
）3+…+n（2 3
）nSn2 3
=（
）2+2（2 3
）3+…+（n-1）（2 3
）n+n（2 3
）n+1（11分）2 3
得Sn=+（
）2+（2 3
）3+…+（2 3
）n-n（2 3
）n+12 3
=
-n（
[1-(2 3
)n]2 3 1- 2 3
）n+12 3
=2[1-（
）n]-n（2 3
）n+12 3
∴Sn=6[1-（
）n]-3n（2 3
）n+1＜62 3
要使得|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，只须m≥6（14分）