已知数列{an}的递推公式为an=3an-1-2n+3，(n≥2，n∈N*)a1

问题解答题

已知数列{a_n}的递推公式为

an=3an-1-2n+3，(n≥2，n∈N*)

a1=2

（1）令b_n=a_n-n，求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前 n项和．

答案

（1）证明：由题意，b_n=a_n-n=3a_n-1-2n+3-n=3a_n-1-3n+3=3（a_n-1-（n-1））=3b_n-1，n≥2

又b₁=a₁-1=1，所以b_n≠0（n∈N^*），

bn-1

=3(n≥2)

所以，数列{b_n}是以1为首项3为公比的等比数列．（6分）

（2）由（1）知，bn=3n-1，a_n=b_n+n（8分）

所以数列{a_n}的前 n项和S_n=（b₁+b₂+…+b_n）+（1+2+…+n）=

3n+n2+n-1

（14分）