问题
解答题
| 等比数列{cn}满足cn+1+cn=10•4n-1，n∈N*，数列{an}满足cn=2an （1）求{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足bn=
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=c1q+c2q=40，
所以公比q=4（2分）
∴c1+4c1=10
∴c1=2（3分）
由等比数列的通项公式可得，cn=2•4n-1=22n-1（4分）
∵cn=2an=22n-1
∴an=2n-1（15分）
（2）∵bn=
=1 an•an+1 1 (2n-1)(2n+1)
∴bn=
(1 2
-1 2n-1
)（6分）1 2n+1
于是Tn=
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 5
-1 2n-1
)]=1 2n+1
（8分）n 2n+1
∴
Tn=lim n→∞
（10分）1 2
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，
则(
)2=m 2m+1
•1 3
，（12分）n 2n+1
可得
=3 n
＞0，-2m2+4m+1 m2
由分子为正，解得1-
＜m＜1+6 2
，6 2
由m∈N*，m＞1，得m=2，此时n=12，
当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列． （16分）
说明：只有结论，m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列．若学生没有说明理由，则只能得 13分