问题
解答题
| 已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，… （1）证明：数列{lg（1+an）}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）记bn=
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答案
（1）证明：由已知an+1=
+2an，∴an+1+1=(an+1)2，a 2n
∵a1=2，∴an+1＞1，两边取对数得 lg（1+an+1）=2lg（1+an），即
=2，lg(1+an+1) lg(1+an)
∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
∴lg(1+an)=2n-1•lg(1+a1)=2n-1•lg3=lg32n-1，
∴1+an=32n-1（*）．
由（*）式得an=32n-1-1．
（2）∵an+1=
+2an，a 2n
∴an+1=an（an+2），
∴
=1 an+1
(1 2
-1 an
)，1 an+2
∴
=1 an+2
-1 an
，2 an+1
又bn=
+1 an
，1 an+2
∴bn=2(
-1 an
)．1 an+1
∴Sn=b1+b2+…+bn
=2(
-1 a1
+1 a2
-1 a2
+…+1 a3
-1 an
)1 an+1
=2(
-1 a1
)．1 an+1
∵an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1，
∴Sn=1-
．2 32n-1