问题
解答题
已知数列{an}是首项为a1，各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2=4S4．
（1）求数列{an}的公比q；
（2）设bn=q+Sn，试问{bn}是否为等比数列？若是求出a1的值；若不是说明理由．
答案
（1）若q=1，5S2=10a1，4S4=16a1，不满足5S2=4S4，故q≠1…（2分）
由5S2=4S4得5
=4a1(1-q2) 1-q
，1+q2=a1(1-q4) 1-q
，q2=5 4
，1 4
∵an＞0，∴q=
…（5分）1 2
（2）假设满足条件的等比数列{bn}存在．
由（1）得Sn=
=2a1[1-(a1[1-(
)n]1 2 1- 1 2
)n]，∴bn=1 2
+2a1[1-(1 2
)n]，…（8分）1 2
∵{bn}是等比数列，∴b1，b2，b3成等比数列，∴
=b1b3b 22
即(
a1+3 2
)2=(a1+1 2
)(1 2
a1+7 4
)，整理得41 2
+a1=0，得a1=0或a1=-a 21
…（11分）1 4
这与数列{an}各项均为正数矛盾，故数列{bn}不存在．…（12分）
