已知抛物线y2=4x的焦点为F．（1）若直线l过点M（4，0），且F到

问题解答题

已知抛物线y²=4x的焦点为F．

（1）若直线l过点M（4，0），且F到直线l的距离为2，求直线l的方程；

（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与X轴垂直，若线段AB中点的横坐标为2．求证：线段AB的垂直平分线恰过定点．

答案

（1）由已知，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），x=4不合题意，设直线l的方程为y=k（x-4）

∵F到直线l的距离为2，∴

|3k|

1+k2

=2，∴k=±

∴直线l的方程为y═±

（x-4）

（2）证明：设A，B的坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∵AB不与x轴垂直，

∴设直线AB的方程为y=kx+b

代入抛物线方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0

∴x₁+x₂=

4-2bk

∵线段AB中点的横坐标为2

∴

4-2bk

∴b=

2-2k2

∵线段AB中点的坐标为（2，2k+b）

∴AB的垂直平分线方程为：y-（2k+b）=-

（x-2）

∵b=

2-2k2

∴方程可化为x+4y-4=0，显然过定点（4，0）

∴线段AB的垂直平分线恰过定点