问题
解答题
| 在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2． （1）求证：数列an+n是等比数列； （2） 求数列{
|
答案
（1）∵an=2an-1+n-2，
∴an+n=2（an-1+n-1）
∴数列{an+n}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）有（1）知：an+n=2n即：an=2n-n，
∴
=1-an 2n n 2n
∴Sn=(1-
)+(1-1 2
)+(1-2 22
)+…+(1-3 23
)=n-(n 2n
+1 21
+2 22
+…+3 23
)n 2n
令Tn=
+1 21
+2 22
+…+3 22
①n 2n
则
Tn=1 2
+(1 21
+1 22
+…+ 1 23
)-1 2n
②n 2n+1
①-②得：
Tn=1 2
+(1 21
+1 22
+…+1 23
)-1 2n
=n 2n+1
-
[1-(1 2
)n]1 2 1- 1 2
=1-n 2n+1
-1 2n
．n 2n+1
∴Tn=2-
-1 2n+1
，n 2n
∴Sn=n-2+
+1 2n+1
．n 2n