问题
解答题
过抛物线y2=4x的焦点，作直线与抛物线相交于P、Q两点，求线段PQ中点的轨迹方程．
答案
∵y2=4x的焦点坐标为F（1，0）
∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点M的坐标为（x0，y0），则有：2y0=y1+y2 2x0=x1+x2
而由题意，得
=4x1y 21
=4x2y 22
∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) ∴
=y1-y2 x1-x2 4 y1+y2
∴k=
…（4分）2 y0
∵点M（x0，y0）在直线PQ上
∴y0=k(x0-1) ∴
=2(x0-1)y 20
即得线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（5分）
而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y2=2（x-1）
综上，线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（6分）