问题
解答题
某学校餐厅每天供应2000名学生用餐，每周一有A，B两种菜可供选择，调查统计表明，凡事在这周一选A种菜的，下周一会有百分之二十改选B；而选B种菜的，下周一会有百分之三十改选A．用an，bn分别表示在第n周星期一选A的人数和选B的人数，且a1≠1200．
（1）证明：数列{an-1200}为等比数列；
（2）若第1周周一选A的人数为1600人，则第5周星期一选A的人数为多少？
答案
（1）由题意，得：an+1=0.8an+0.3bn；
因为an+bn=2000，
有an+1=600+0.5an．
证明：
=an+1-1200 an-1200
=0.5an-600 an-1200
，1 2
又a1-1200≠0，
则{an-1200}是以
为公比的等比数列．1 2
（2）若a1=1600，则{an-1200}是以400为首项，
为公比的等比数列，1 2
有an-1200=400•(
)n-1，1 2
即an=1200+400•(
)n-1，1 2
有a5=1225．
答：第5周星期一选A种菜的人数为1225人．