问题 解答题

已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的中垂线恒过定点Q(6,0),求此抛物线的方程.

答案

由抛物线的定义可得:|AF|+|BF|=x1+

p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p=8

∴x1+x2=8-p.

∵点Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,

∴|QA|=|QB|即:(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22

又∵y12=2px1,y22=2px2

∴(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2

整理得:(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.

∵x1≠x2∴x1+x2-12+2p=0即:x1+x2=12-2p=8-p

解得:p=4,

∴抛物线的方程为y2=8x.

单项选择题
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