问题
解答题
已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求证：该方程必有两个实数根；
（2）若该方程只有整数根，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数y=（k+1）x2+3x+m与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足OA=2•OB，求m的非负整数值．
答案
（1）证明：△=b2-4ac=（3k+1）2-4k（2k+1），
=（k+1）2≥0，
∴该方程必有两个实数根；
（2）x=
=-(3k+1)± (k+1)2 2k
，-(3k+1)±(k+1) 2k
x 1=
=-1，x 2=-(3k+1)+(k+1) 2k
=-2--(3k+1)-(k+1) 2k
，1 k
∵方程只有整数根，
∴-2-
应为整数，即1 k
应为整数，1 k
∵k为整数，
∴k=±1；
（3）根据题意，k+1≠0，即k≠-1，
∴k=1，此时，二次函数为y=2x2+3x+m，
∵二次函数与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），
∴△=b2-4ac=32-4×2×m=9-8m＞0，m＜
，9 8
∵m为非负整数
∴m=0，1，
当m=0时，二次函数为y=2x2+3x，此时A（-
，0），B（0，0）3 2
不满足OA=2•OB，
当m=1时，二次函数为y=2x2+3x+1，此时A（-1，0），B（-
，0）1 2
满足OA=2•OB．
∴m=1．