问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n.
（1）设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n≥2)，求{cn}的通项公式.
答案
（1）证明见解析（2）cn= (
)n
（1）证明 由a1+S1=1及a1=S1得a1=.
又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得
an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.
∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.
∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项，
为公比的等比数列. 6分
（2）解 方法一 由（1）知2an+1=an+1.
∴2an=an-1+1 (n≥2), 8分
∴2an+1-2an=an-an-1,
∴2cn+1=cn (n≥2).
又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=
.
∴c2=
-=
,即c2=c1.
∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列. 12分
∴cn=·()n-1=()n. 14分
方法二 由（1）bn=(-)·()n-1=-()n.
∴an=-()n+1.
∴cn=-()
+1-
=
-
=
=（n≥2）. 12分
又c1=a1=
也适合上式，∴cn=. 14分