抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0

问题解答题

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交抛物线C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足

=λ

，证明线段PM的中点在y轴上．

答案

（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为(0，

)，准线方程为y=-

．

（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），直线PB的方程为y-y₀=k₁（x-x₀）．

点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0)①

y=ax2②

的解．

将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

，故x1=

-x0③

又点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组

y-y0=k2(x-x0)④

y=ax2⑤

的解．

将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x2+x0=

，故x2=

-x0．

由已知得，k₂=-λk₁，则x2=-

k1-x0．　　⑥

设点M的坐标为（x_M，y_M），由

-λ

，则xM=

x2+λx1

1+λ

．

将③式和⑥式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．

∴线段PM的中点在y轴上．