问题
解答题
设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1.
(1)求实数a的取值范围；
(2)试比较f(0)·f(1)－f(0)与的大小，并说明理由
答案
法一：(1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，
则由题意可得
⇔
⇒0<a<3－2.
故所求实数a的取值范围是(0,3－2)．
(2)f(0)·f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，令h(a)＝2a2，
∵当a>0时，h(a)单调递增，∴当0<a<3－2时，
0<h(a)<h(3－2)＝2(3－2)2＝2(17－12)
＝2·<，即f(0)·f(1)－f(0)<.
法二：(1)同解法一．
(2)∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，由(1)知
0<a<3－2，
∴4a－1<12－17<0.又4a＋1>0，于是
2a2－＝(32a2－1)＝(4a－1)(4a＋1)<0，
即2a2－<0，故f(0)f(1)－f(0)<.
法三：(1)方程f(x)－x＝0⇔x2＋(a－1)x＋a＝0，由韦达定理得x1＋x2＝1－a，x1x2＝a，于是0<x1<x2<1
⇔⇔
⇔0<a<3－2.
故所求实数a的取值范围是(0,3－2)．
(2)依题意可设g(x)＝(x－x1)(x－x2)，则由0<x1<x2<1，得f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝x1x2(1－x1)(1－x2)＝[x1(1－x1)][x2(1－x2)]<22＝，故f(0)f(1)－f(0)<.