问题
解答题
| 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点． （1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由． （2）若△AOB的面积为
|
答案
（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（-1，0）-------（1分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my-1，代入y2=4x得
y2-4my+4=0，△=16m2-16＞0，得m2＞1，
--------（2分）y1+y2=4m y1y2=4
假设存在T（a，0）满足题意，则kAT+kBT=
+y1 x1-a
=y2 x2-a 2my1y2-(1+a)(y1-y2) (x1-a)(x2-a)
=
=0．∴8m-4m（1+a）=0，8m-4m(1+a) (x1-a)(x2-a)
∴a=1，∴存在T（1，0）----------------（6分）
（2）S△ABC=
|OF||y1-y2|=1 2
|y1-y2|=1 2 5 2
∴|y1-y2|=5----------------（7分）
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB=θ
kOA=
=y1 x1
=y1 y 21 4
=tanα，kOB=4 y1
=tanβ--------（9分）4 y2
设θ=|α-β|，
∴tanθ=|tan（α-β）|=|
|=|tanα-tanβ 1+tanαtanβ
|=
-4 y1 4 y2 1+ 16 y1y2
=1------（11分）|y1-y2| 5
∴θ=
----------------------（12分）π 4