问题
填空题
（文科试题）已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有______个．
答案
分3种情况加以讨论
①根据题意，显然∠POF不可能是直角，所以直角三角形△POF的直角顶点不可能是原点O，
②当∠PFO=90°时，即直角顶点在焦点F时，过点F作直线与x轴垂直，交于抛物线y2=2px于P点，这样满足条件的P点有两个；
③接下来证明∠OPF不可能是直角：
抛物线的焦点坐标为F（
，0），设抛物线上的点P坐标为（p 2
，y），可得y2 2p
=（OP
，y），y2 2p
=（FP
-y2 2p
，y）p 2
∴
•OP
=FP
（y2 2p
-y2 2p
）+y2=p 2
+y4 4p2 3y2 4
∵
＞0且y4 4p2
＞03y2 4
∴
•OP
=FP
•|OP|
cos∠OPF＞0，|FP|
∴cos∠OPF＞0，结合∠OPF∈（0，π），可得∠OPF是锐角．
综上所述，得满足条件的点P只有两个．
故答案为：2