问题
填空题
若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象和直线y=x无交点,现有下列结论:①方程f(f(x))=x一定没有实数根;
②若a>0,则不等式f(f(x))>x对一切实数x都成立;
③若a<0,则必存在实数x0,使f(f(x0))>x0;
④若a+b+c=0,则不等式f(f(x))<x对一切实数都成立;
⑤函数g(x)=ax2-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点.
其中正确的结论是 (写出所有正确结论的编号).
答案
①②④⑤
因为函数f(x)的图象与直线y=x没有交点,所以f(x)>x(a>0)或f(x)<x(a<0)恒成立.
①因为f(f(x))>f(x)>x或f(f(x))<f(x)<x恒成立,所以f(f(x))=x没有实数根;
②若a>0,则不等式f(f(x))>f(x)>x对一切实数x都成立;
③若a<0,则不等式f(f(x))<x对一切实数x都成立,所以不存在x0,使f(f(x0))>x0;
④若a+b+c=0,则f(1)=0<1,可得a<0,因此不等式f(f(x))<x对一切实数x都成立;
⑤易见函数g(x)=f(-x),与f(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)的图象和直线y=-x也一定没有交点.综合知正确的结论为①②④⑤.
