问题
解答题
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．
（1）证明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长．
答案
证明：（Ⅰ）由题设知，F（
，0），C（-p 2
，0），p 2
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+
，p 2
代入抛物线方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0．
y1+y2=2pm，y1y2=-p2．…（4分）
不妨设y1＞0，y2＜0，则
tan∠ACF=
=y1 x1+ p 2
=y1
+y12 2p p 2
=2py1 y12+p2
=2py1 y12-y1•y2
，2p y1-y2
同理可得tan∠BCF=
=y2 x2+ p 2
，2p y1-y2
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF=
≤2py1 y12+p2
=1，当且仅当y1=p时取等号，2py1 2py1
此时∠ACF取最大值
，π 4
∴∠ACB=2∠ACF取最大值
，π 2
并且A（
，p），B（p 2
，-p），|AB|=2p．…（12分）p 2