问题 填空题

已知a,b∈N+,抛物线f(x)=ax2+bx+1与x轴有两个不同交点,且两交点到原点的距离均小于1,则a+b的最小值为______.

答案

由题意可得:∵a,b都是正整数,

∴-

b
2a
<0,
1
a
>0,

∵抛物线y=ax2+bx+l与x轴有两个不同的交点A、B,

且A、B到原点的距离都小于1,则点A,B两点在0和-1之间,于是,a,b同时满足

△=b2-4ac>0
a-b+1>0
-1<-
b
2a
<0
,即
a<
b2
4
a>b-1
a>
b
2
,①

①当

b
2
≥b-1,即b≤2时,有
b2
4
≤1,又a<
b2
4
与a是正整数矛盾,

b
2
<b-1,即b>2,若b-1≥
b2
4
,有(b-2)2≤0,则b-1<
b2
4

不等式组①的解为:b-1<a<

b2
4

若b-1<a,而a,b都是正整数,取最小的a,令a=b,则a<

a2
4

解得:a>4,

所以a取最小的数值为5.故a+b的最小值等于10.

故答案为10.

单项选择题
单项选择题