问题
解答题
已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．
（1）求f（0）；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）f（x）在[﹣2，1]上的值域．
答案
解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=﹣x，得f（﹣x+x）=f（x）+f（﹣x）
即f（0）=f（x）+f（﹣x）
∴f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x）
因此f（x）为R上的奇函数，
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x2﹣x1）＞0
又∵f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，可得f（x1）＜f（x2）
∴f（x）为奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，f（﹣2）=2f（﹣1）=﹣4
∵f（x）为R上的增函数，
∴当﹣2≤x≤1时，f（﹣2）≤f（x）≤f（1），
即函数在[﹣2，1]上的值域为[﹣4，2]
在容积不变的密闭容器中达到平衡，且起始时A与B的物质的量之比为a:b。则