由题意可知过焦点的直线方程为y=x-

p

2

，代入抛物线y²=2px，
消去y可得x2-3px+

p2

4

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∴x₁+x₂=3p，x₁x₂=

p2

4

．

∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4p=4
解得p=1
故选A．