问题
解答题
| 已知抛物线x2=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q． （Ⅰ）求
（Ⅱ）求点Q的纵坐标； （Ⅲ）证明：|
|
答案
（Ⅰ）∵F(0，
)，p 2
∴设直线l的方程为y=kx+
．p 2
由
可得x2-2pkx-p2=0．（2分）y=kx+ p 2 x2=2py
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则x1+x2=2pk，x1x2=-p2．（3分）
y1•y2=(kx1+
)•(kx2+p 2
)=k2x1x2+p 2
(x1+x2)+kp 2 p2 4
=-k2p2+k2p2+
=p2 4
（4分）p2 4
∴
•OA
=x1x2+y1y2=-OB
p2．（5分）3 4
（Ⅱ）由x2=2py，可得y=
，x2 2p
∴y′=
．x p
∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为
，x1 p
．x2 p
∴在点A处的切线方程为y-y1=
(x-x1)，即y=x1 p
x-x1 p
．（7分）x12 2p
同理在点处B的切线方程为y=
x-x2 p
．x22 2p
解方程组y=
x-x1 p x12 2p y=
x-x2 p x22 2p
可得x=pk y=-
.p 2
即点Q的纵坐标为-
．（9分）p 2
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，Q(pk，-
)，p 2
∴|
|2=(0-pk)2+(QF
+p 2
)2=(1+k2)p2，（11分）p 2
又y1+y2=kx1+
+kx2+p 2
=k(x1+x2)+p=p(1+2k2)，p 2
∴|
|•|AF
|=(y1+BF
)(y2+p 2
)=y1y2+p 2
(y1+y2)+p 2 p2 4
=
+p2 4
•(1+2k2)p+p 2 p2 4
=（1+k2）p2．
∴|
|2=|QF
|•|AF
|．（13分）BF