设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.

(1)求a₁的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

答案

（1）a₁＝1.（2）a_n＝3·2ⁿ^－1－2

(1)当n＝1时，T₁＝2S₁－1².因为T₁＝S₁＝a₁，所以a₁＝2a₁－1，解得a₁＝1.

(2)当n≥2时，S_n＝T_n－T_n_－1＝2S_n－n²－[2S_n_－1－

(n－1)²]＝2S_n－2S_n_－1－2n＋1，所以S_n＝2S_n_－1＋2n－1， ①

所以S_n_＋1＝2S_n＋2n＋1，②

②－①得a_n_＋1＝2a_n＋2.

所以a_n_＋1＋2＝2(a_n＋2)，即＝2(n≥2)． (*)

当n＝1时，a₁＋2＝3，a₂＋2＝6，则＝2.

所以，当n＝1时，适合(*)式，所以{a_n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．

则a_n＋2＝3·2ⁿ^－1，所以a_n＝3·2ⁿ^－1－2.