（1）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x1，y1

问题解答题

（1）直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，证明：y₁y₂=-p²；

（2）直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点．

答案

解（1）1°当斜率不存在时，直线x=

．此时A(

，p)，B(

，-p)，y₁y₂=-p²

2°当斜率存在，设直线方程为：y=k(x-

)

y=k(x-

)

y2=2px

消元得：ky²-2py-kp²=0w所以 y₁y₂=-p^{2
综上所述y₁y₂=-p²
（2）1°当斜率不存在时，直线x=
p
2
，此时A(p
2
，p)，B(p
2
，-p)，C(-p
2
，-p)
所以直线AC的斜率为kAC=
-p-p
-p
2
-p
2
=2
所以直线AC的方程为y-p=2(x-
p
2
)⇒y=2x直线经过原点
2°当斜率存在，设直线方程为：y=k(x-
p
2
)
设A(
y12
2p
，y1)，B(y22
2p
，y2)C(-p
2
，y2)
由
y=k(x-p
2
)
y2=2px
消元得：ky²-2py-kp²=0 y₁y₂=-p²；所以直线AC的斜率为kAC=
-y 21
2p
-y1
-p
2
-y 21
2p
=2p
y1
所以直线AC的方程：y-y1=
2p
y1
(x-y 21
2p
)⇒y=2p
y1
x
所以直线经过原点．
综上所述，直线经过原点}