已知抛物线C：y2=4x，P（x0，y0）（y0＞0）为抛物线上一点，Q为P关于

问题解答题

已知抛物线C：y²=4x，P（x₀，y₀）（y₀＞0）为抛物线上一点，Q为P关于x轴对称的点，O为坐标原点．

（1）若S_△POQ=2，求P点的坐标；

（2）若过满足（1）中的点P作直线PA，PB交抛物线C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=4，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

答案

（1）由题意得，S△POQ=

x02y0=2，∴

y03

=2，∴y₀=2，即P（1，2）…（4分）

（2）证明：设直线AB的方程为x=my+b，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

直线与抛物线联立得y²-4my-4b=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b

由k₁k₂=4，即

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=4，整理得

y1y2-2(y1+y2)+4

x1x2-(x1+x2)+1

即

y1y2-2(y1+y2)+4

y1y2-

[(y1+y2)2-2y1y2]+1

=4，

把韦达定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）

所以直线AB过定点（0，-2）…（12分）