问题
解答题
抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．
求证：
（1）A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；
（2）FN⊥AB（F为抛物线的焦点）．
答案
证明：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x0，y0），焦点F的坐标是（
，0）．p 2
由
得ky2-2py-kp2=0．y=k(x-
)p 2 y2=2px
∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N，
∴C（-
，y1）、D（-p 2
，y2）、N（-p 2
，y0）．p 2
∵kOA=
=y1 x1
=y1 y12 2p
，kOD=2p y1
，y2 - p 2
由ky2-2py-kp2=0
得y1y2=
=-p2，-kp2 k
∴kOA=kOD，∴A、O、D三点共线．同理可证B、O、C三点共线．----（6分）
（2）kFN=
，当x1=x2时，显然FN⊥AB；y0 -p
当x1≠x2时，kAB=
=y2-y1 x2-x1
=y2-y1
(y22-y12)1 2p
=2p y1+y2
，p y0
∴kFN•kAB=-1．
∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立．----（12分）