问题
解答题
| 函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy． （1）求f（0）的值； （2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论； （3）若f（1）≥1，求证：f(
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答案
（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0
（2）f（1）=1，
f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16
猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．
①当n=1时猜想成立．
②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，
那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．
这就是说n=k+1时猜想也成立．
对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．
（3）f（1）≥1，则f(1)=2f(
)+2×1 2
×1 2
≥1?f(1 2
)≥1 2
＞01 4
假设n=k（k∈N*）时命题成立，即f(
)≥1 2k
＞0，则f(1 22k
)=2f(1 2k
)+2×1 2k+1
×1 2k+1
≥1 2k+1
?f(1 22k
)≥1 2k+1
，1 22(k+1)
由上知，则f(
)＞0(n∈N*)．1 2n