等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1

问题解答题

等比数列{a_n}中,a₁,a₂,a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a₁,a₂,a₃中的任何两个数不在下表的同一列.

(1)求数列{a_n}的通项公式;
(2)若数列{b_n}满足:b_n=a_n+(-1)ⁿlna_n,求数列{b_n}的前2n项和S_2n.

答案

(1) a_n=2·3^n-1(2)S_2n=3²ⁿ+nln3-1

解:(1)当a₁=3时,不合题意;

当a₁=2时,当且仅当a₂=6,a₃=18时,符合题意;

当a₁=10时,不合题意.

因此a₁=2,a₂=6,a₃=18,所以公比q=3.

故a_n=2·3^n-1.

(2)因为b_n=a_n+(-1)ⁿlna_n,

=2×3^n-1+(-1)ⁿln(2×3^n-1)

=2×3^n-1+(-1)ⁿ[ln2+(n-1)ln3]

=2×3^n-1+(-1)ⁿ(ln2-ln3)+(-1)ⁿnln3.

所以S_2n=b₁+b₂+…+b_2n=2(1+3+…+3^2n-1)+[-1+1-1+…+(-1)²ⁿ](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)²ⁿ2n]ln3=2×+nln3=3²ⁿ+nln3-1.