设抛物线y2=2x，（1）设点A(23，0)，求抛物线上距A最近的点P的坐

问题解答题

设抛物线y²=2x，
（1）设点A(

，0)，求抛物线上距A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设A（a，0）（a∈R），求在抛物线上一点到点A距离的最小值d，并写出函数式d=f（a）．

答案

（1）设点P（x，y）是抛物线y²=2x上任意一点，

∴|PA|2=(x-

)2+y2=x2-

+2x=(x+

)2+

(x≥0)

当x=0时，|PA|小=

，此时P（0，0）．

（2）设P（x，y）为y²=2x上任意一点，

∴|PA|²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）

①当a≥1时，x=a-1≥0，即a≥1处|PA|_小=

2a-1

②当a＜1时，x=0，|PA|_小=|a|

综上所述，d=

2a-1

(a≥1)

|a|(a＜1)