问题
解答题
已知数列{an}成等比数列，且an＞0.
(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；
(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．
答案
（1）见解析（2）32
设公比为q，则由题意，得q＞0.
(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得
解之，得
或
所以数列{an}的通项公式为
an＝8(2－
)(3＋)n－1，或an＝8(2＋)(3－)n－1.
②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组
有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．
由Δ＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.
经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2.
(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，
得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1.
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝
＝8
≥32，
当且仅当qk－1＝
，即q＝
，a1＝8(－1)时，
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32