设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n

问题解答题

设数列{a_n}前n项和为S_n,数列{S_n}的前n项和为T_n,满足T_n=2S_n-n²,n∈N^*.

(1)求a₁的值.

(2)求数列{a_n}的通项公式.

答案

(1) a₁=1 (2) a_n=3·2^n-1-2,n∈N^*

(1)当n=1时,T₁=2S₁-1.

因为T₁=S₁=a₁,所以a₁=2a₁-1,解得a₁=1.

(2)当n≥2时,S_n=T_n-T_n-1

=2S_n-n²-[2S_n-1-(n-1)²]

=2S_n-2S_n-1-2n+1,所以S_n=2S_n-1+2n-1　①,

所以S_n+1=2S_n+2n+1　②,

②-①得a_n+1=2a_n+2,

所以a_n+1+2=2(a_n+2),

即=2(n≥2),

求得a₁+2=3,a₂+2=6,则=2.

所以{a_n+2}是以3为首项,2为公比的等比数列,

所以a_n+2=3·2^n-1,

所以a_n=3·2^n-1-2,n∈N^*.