问题
解答题
| 设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1时f（x）＞0． （1）求f（
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明； （3）一个各项均为正数的数列{an}满足f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n∈N*），其中Sn是数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式． |
答案
（1）令x=y=1，得f（1）=0
而令x=2，y=
，得f（1）=f（2）+f（1 2
）1 2
∴f（
）=-f（2）=-1，（4分）1 2
（2）在（0，+∞）上任取两数x1，x2，且x1＜x2，
令
=k，则f（k）＞0x2 x1
∴f（x2）=f（kx1）=f（k）+f（x1）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（8分）
（3）f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n∈N*）
=f（an）+f（an+1）+f（
）1 2
=f[
]，an(an+1) 2
由于f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴Sn=
，n∈N*）an(an+1) 2
∴S n-1=
，n≥2an-1(an-1+1) 2
两式相减，有
=an，
-a 2n
+an-an-1a 2n-1 2
整理得（an+an-1）（a n-a n-1-1）=0
∵an＞0，∴a n-a n-1-1=0，a n-a n-1=1，n≥2
所以数列{an}是公差为1的等差数列，
当n=1时，a1=S1=
，a1=1a1(a1+1) 2
∴an=n （14分）