问题 解答题
关于x的方程x2+2x+2
x2+2x+2p
-p2=0
,其中p是实数.
(1)若方程没有实数根,求P的范围;
(2)若p>0,问p为何值时,方程有两个相等的实数根?并求出这两个根.
答案

(1)令

x2+2x+2p
=y,①

则原方程变为y2+2y-(p2+2p)=0.(3分)

∵△=4+4(p2+2p)=4(p2+2p+1)=4(p+1)2≥0,

即y1=p,y2=-2-p.(6分)

若原方程没有实数根,只须

p<0
-2-p<0

解这个不等式组,得-2<p<0.(9分)

(2)∵p>0,把y1=p代入①,得

x2+2x+2p
=p②

而y2=-2-p<0,舍去.(11分)

将②式平方,整理得x2+2x-(p2-2p)=0.③(12分)

令△=4+4(p2-2p)=4(p2-2p+1)=4(p-1)2=0,解得p=1.(15分)

当p=1时,原方程有两个相等的实数根.把p=1代入③,得x2+2x+1=0,

∴x1=x2=-1.(17分)

经检验,当p=1时,x1=x2=-1是原方程的根.(18分)

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