已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1

问题解答题

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

1-2x

，x≠

-1，x=

的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=

上，且

．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=f(

)+f(

)+…+f(

n-1

)，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式

Tm-c

Tm+1-c

＜

成立，求c和m的值．

答案

（Ⅰ）∵点M在直线x=

上，设M(

，yM)．又

，

即

-x1，yM-y1)，

=(x2-

，y2-yM)，

∴x₁+x₂=1．（2分）

①当x₁=

时，x₂=

，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；

②当x₁≠

时，x₂≠

，

y₁+y₂=

2x1

1-2x1

2x2

1-2x2

2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)

(1-2x1)(1-2x2)

2(x1+x2)-8x1x2

1-2(x1+x2)+4x1x2

2(1-4x1x2)

4x1x2-1

=-2；

综合①②得，y₁+y₂=-2．（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=-2．

∴f(

)+f(

n-k

)=-2，k=1，2，3，，n-1．（7分）

n≥2时，S_n=f(

)+f(

)++f(

n-1

)，①

S_n=f(

n-1

)+f(

n-2

)+f(

n-3

)++f(

)，②

①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．

n=1时，S₁=0满足S_n=1-n．

∴S_n=1-n．（10分）

（Ⅲ）a_n=2Sn=2^1-n，T_n=1+

++(

)n-1=2-

Tm-c

Tm+1-c

＜

⇔

2(Tm-c)-(Tm+1-c)

2(Tm+1-c)

＜0⇔

c-(2Tm-Tm+1)

c-Tm+1

＜0．T_m+1=2-

，2T_m-T_m+1=4-

-2+

=2-

，

∴

≤2-

＜c＜2-

＜2，c、m为正整数，

∴c=1，

当c=1时，

＜1

＞1

，

∴1＜2^m＜3，

∴m=1．（14分）