设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n,数列{S_n}的前n项和为T_n,满足T_n=2S_n-n²,n∈N^*.

(1)求a₁的值;

(2)求数列{a_n}的通项公式.

答案

(1) a₁=1 (2) a_n=3·2^n-1-2

解:(1)由题意a₁=S₁=T₁,T_n=2S_n-n²,

令n=1得a₁=2a₁-1,∴a₁=1.

(2)由T_n=2S_n-n²①

得T_n-1=2S_n-1-(n-1)²(n≥2)②

①-②得S_n=2a_n-2n+1(n≥2),

验证n=1时也成立.

∴S_n=2a_n-2n+1③

则S_n-1=2a_n-1-2(n-1)+1(n≥2)④

③-④得a_n=2a_n-2a_n-1-2,

即a_n+2=2(a_n-1+2),

故数列{a_n+2}是公比为2的等比数列,首项为3,

所以a_n+2=3·2^n-1,从而a_n=3·2^n-1-2.