问题
解答题
| 函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1 （1）求f（
（2）数列{an}满足：an=f（0）+f（
（3）令bn=
|
答案
（1）令x=
，1 2
则有f(
)+f(1-1 2
)=f(1 2
)+f(1 2
)=1．∴f(1 2
)=1 2
．1 2
（2）令x=
，得f(1 n
)+f(1-1 n
)=1．即f(1 n
)+f(1 n
)=1．n-1 n
因为an=f(0)+f(
)+f(1 n
)++f(2 n
)+f(1)，n-1 n
所以an=f(1)+f(
)+f(n-1 n
)++f(n-2 n
)+f(0)．1 n
两式相加得：2an=[f(0)+f(1)]+[f(
)+f(1 n
)]++[f(1)+f(0)]=n+1，∴an=n-1 n
，n∈N*．n+1 2
（3）bn=
=2 2an-1
，n=1时，Tn=Sn；n≥2时，∴Tn=b12+b22++bn2=4(1+2 n
+1 22
++1 32
)≤4[1+1 n2
+1 1×2
++1 2×3
]1 n(n-1)
=4[1+(1-
)+(1 2
-1 2
)++(1 3
-1 n-1
)]1 n
=4(2-
)=8-1 n
=Sn4 n
∴Tn≤Sn．