问题
解答题
偶函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），若x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．
答案
（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（1）=0；
（2）令y=
，代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（x）+f（1 x
）=0，即f（1 x
）=-f（x）；1 x
∵x＞1时，f（x）＞0，令0＜x1＜x2，
＞1，x2 x1
∴f（
）=f（x2•x2 x1
）=f（x2）+f（1 x1
）=f（x2）-f（x1）＞0，1 x1
∴f（x2）＞f（x1）．
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）∵偶函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（4）=1，
∵f（3x+1）≤2=f（4）+f（4）=f（16），
∴|3x+1|≤16（x≠0），
∴-
≤x＜0或0＜x≤5．17 3
∴所求不等式的解集为：{x|-
≤x＜0或0＜x≤5}．17 3