问题
解答题
函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；
（2）当x＞1时，f（x）＜2；
（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
回答下面的问题
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
答案
（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2
（2）f（x）=2+logax，其中a可以取（0，1）内的任意一个实数；
（3）f（x）在（0，+∞）单调递减
事实上，设0＜x1＜x2，则
＞1x2 x1
由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f(
)＜2x2 x1
∴f(x2)=f(
•x1)=f(x2 x1
)+f(x1)-2＜2+f（x1）-2=f（x1）．x2 x1
即f（x2）＜f（x1）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减．
