（I）令x=1，y=0

∴f（1）•f（0）=f（1）+f（1）

∵f(1)=

5

2

，

∴f（0）=2．

令x=0，

∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即2f（y）=f（y）+f（-y）

∴f（y）=f（-y），对任意的实数y总成立．

∴f（x）为偶函数．

（II）令x=y=1，得f（1）f（1）=f（2）+f（0）．

∴

25

4

=f(2)+2．

∴f(2)=

17

4

．

∴a1=2f(2)-f(1)=

17

2

-

5

2

=6．

令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．

∴f(n+2)=

5

2

f(n+1)-f(n)．

a_n+1=2f（n+2）-f（n+1）

=2[

5

2

f(n+1)-f(n)]-f(n+1)4f(n+1)-2f(n)

=2[f（n+1）-2f（n）]=2a_n（n≥1）

∴{a_n}是以6为首项，以2为公比的等比数列．

（III）结论：f（x₁）＜f（x₂）．

证明：设y≠0

∵y≠0时，f（y）＞2，

∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（x），即f（x+y）-f（x）＞f（x）-f（x-y）．

∴对于k∈N，总有f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]成立．

∴f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]＞f[（k-1）y]-f[（k-2）y]＞…＞f（y）-f（0）＞0．

∴对于k∈N总有f[（k+1）y]＞f（ky）成立．

∴对于m，n∈N，若n＜m，则有f（ny）＜f（my）成立．

∵x₁，x₂∈Q，所以可设|x1|=

q1

p1

，|x2|=

q2

p2

，其中q₁，q₂是非负整数，p₁，p₂都是正整数，

则|x1|=

q1p2

p1p2

，|x2|=

p1q2

p1p2

．

令y=

1

p1p2

，t=q₁p₂，s=p₁q₂，则t，s∈N．

∵|x₁|＜|x₂|，∴t＜s

∴f（ty）＜f（sy），即f（|x₁|）＜f（|x₂|）．

∵函数f（x）为偶函数．

∴f（|x₁|）=f（x₁），f（|x₂|）=f（x₂）．

∴f（x₁）＜f（x₂）．