(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),p=2时,直线AB:y=x-1,代入y2=4x中
可得:x2-6x+1=0(2分)
则x1+x2=6,由定义可得:|AB|=x1+x2+p=8.(4分)
(2)直线AB:y=x-,代入y2=2px(p>0)中,可得:x2-3px+p2=0
则x1+x2=3p,x1x2=,设N(x0,x0+),
则=(x1-x0,y1-x0-),=(x2-x0,y2-x0-)
即•=x1x2-x0(x1+x2)++y1y2-(x0+)(y1+y2)+(x0+)2(2分)
由x1+x2=3p,x1x2=,y1y2=-p2,y1+y2=2p(4分)
则•=2-4px0-p2=2(x0-p)2-p2
当x0=p时,•的最小值为-p2. (6分)
(3)假设满足条件的直线l存在,其方程为x=a,
设CD的中点为O',l与以CD为直径的圆相交于点P、Q,设PQ的中点为H,
则O'H⊥PQ,O'点的坐标为(,).
∵|O′P|=|CD|==,
|O′H|=|a-|=|2a-x1-p|,(2分)
∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=(+p2)-(2a-x1-p)2=(a-)x1+a(p-a),
∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-)x1+a(p-a)]. (5分)
令a-=0,得a=,此时|PQ|=p为定值,
故满足条件的直线l存在,其方程为x=,即抛物线的通径所在的直线. (7分)