问题 解答题
(理)斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于两点A、B.
(1)若p=2,求|AB|的值;
(2)将直线AB按向量
a
=(-p,0)
平移得直线m,N是m上的动点,求
NA
NB
的最小值.
(3)设C(p,0),D为抛物线y2=2px(p>0)上一动点,是否存在直线l,使得l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
答案

(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),p=2时,直线AB:y=x-1,代入y2=4x中

可得:x2-6x+1=0(2分)

则x1+x2=6,由定义可得:|AB|=x1+x2+p=8.(4分)

(2)直线AB:y=x-

p
2
,代入y2=2px(p>0)中,可得:x2-3px+
1
4
p2=0

则x1+x2=3p,x1x2=

p2
4
,设N(x0x0+
p
2
)

NA
=(x1-x0y1-x0-
p
2
),
NB
=(x2-x0y2-x0-
p
2
)

NA
NB
=x1x2-x0(x1+x2)+
x20
+y1y2-(x0+
p
2
)(y1+y2)+(x0+
p
2
)2(2分)

x1+x2=3p,x1x2=

p2
4
y1y2=-p2y1+y2=2p(4分)

NA
NB
=2
x20
-4px0-
3
2
p2=2(x0-p)2-
7
2
p2

当x0=p时,

NA
NB
的最小值为-
7
2
p2
.                            (6分)

(3)假设满足条件的直线l存在,其方程为x=a,

设CD的中点为O',l与以CD为直径的圆相交于点P、Q,设PQ的中点为H,

则O'H⊥PQ,O'点的坐标为(

x1+p
2
y1
2
).

|O′P|=

1
2
|CD|=
1
2
(
x 1
-p)
2
+y12
=
1
2
x21
+p2

|O′H|=|a-

x1+p
2
|=
1
2
|2a-x1-p|,(2分)

∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=

1
4
(
x21
+p2)-
1
4
(2a-x1-p)2=(a-
p
2
)x1+a(p-a)

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-

p
2
)x1+a(p-a)].                    (5分)

a-

p
2
=0,得a=
p
2
,此时|PQ|=p为定值,

故满足条件的直线l存在,其方程为x=

p
2
,即抛物线的通径所在的直线. (7分)

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