问题
解答题
已知，凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：
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答案
∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取
，1 2
，1，3 2
若sinA1=
，1 2
∵sinA2≥
，sinA3≥1 2
，1 2
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）≤4（
-1 4
）＜0，1 2
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA1≠
，1 2
同理sinA2≠
，sinA3≠1 2
，1 2
若sinA1=
，则sinA2≥3 2
，sinA3≥3 2
，3 2
∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）=4•（
-3 4
）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，3 2
∴sinA1≠
，同理sinA2≠3 2
，sinA3≠3 2
，3 2
综上，sinA1=1，A1=90°，
这样，其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°•n-270°，这些角均不大于150°，
∴720°•n-270°≤（4n-1）•150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°，
∵A4，A5，A6≤150°，
∴A4=A5=A6=150°．