∵抛物线的方程为y²=4x，

∴抛物线的准线为x=-1，焦点为F（1，0）．

又∵直线x=-1交双曲线

x2

a2

-y2=1于A、B两点，△FAB为直角三角形．

∴△FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF'=2

由此可得A（-1，2）、B（-1，-2），如图所示

将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得

1

a2

-4=1，解之得a=

5

5

（舍负）

故选：D