证明（Ⅰ）令x=0，则f（0）=af（0），

∵a＞0，

∴f（0）=0．

（Ⅱ）①令x=a，

∵a＞0，

∴x＞0，则f（x²）=xf（x）．

假设x≥0时，f（x）=kx（k∈R），则f（x²）=kx²，而xf（x）=x•kx=kx²，

∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．

②令x=-a，

∵a＞0，

∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）

假设x＜0时，f（x）=hx（h∈R），则f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x•hx=-hx²，

∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．

∴f(x)=

（Ⅲ）当x＞0时，g(x)=

令g'（x）=0，得x=1或x=-1；

当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，∴g（x）是单调递减函数；

当x∈[1，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数；

所以当x=1时，函数g（x）在（0，+∞）内取得极小值，极小值为g(1)=