问题 解答题
已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x)
(Ⅰ)证明f(0)=0;
(Ⅱ)证明f(x)=
kxx≥0
hxx<0
其中k和h均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k>0时,设g(x)=
1
f(x)
+f(x)(x>0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值.
答案

证明(Ⅰ)令x=0,则f(0)=af(0),

∵a>0,

∴f(0)=0.

(Ⅱ)①令x=a,

∵a>0,

∴x>0,则f(x2)=xf(x).

假设x≥0时,f(x)=kx(k∈R),则f(x2)=kx2,而xf(x)=x•kx=kx2

∴f(x2)=xf(x),即f(x)=kx成立.

②令x=-a,

∵a>0,

∴x<0,f(-x2)=-xf(x)

假设x<0时,f(x)=hx(h∈R),则f(-x2)=-hx2,而-xf(x)=-x•hx=-hx2

∴f(-x2)=-xf(x),即f(x)=hx成立.

f(x)=

kx,x≥0
hx,x<0
成立.

(Ⅲ)当x>0时,g(x)=

1
f(x)
+f(x)=
1
kx
+kx,g′(x)=-
1
kx2
+k=
x2-1
kx2

令g'(x)=0,得x=1或x=-1;

当x∈(0,1)时,g'(x)<0,∴g(x)是单调递减函数;

当x∈[1,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)是单调递增函数;

所以当x=1时,函数g(x)在(0,+∞)内取得极小值,极小值为g(1)=

1
k
+k

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