问题
解答题
| 已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x） （Ⅰ）证明f（0）=0； （Ⅱ）证明f(x)=
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0时，设g（x）=
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答案
证明（Ⅰ）令x=0，则f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．
（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，则f（x2）=xf（x）．
假设x≥0时，f（x）=kx（k∈R），则f（x2）=kx2，而xf（x）=x•kx=kx2，
∴f（x2）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x2）=-xf（x）
假设x＜0时，f（x）=hx（h∈R），则f（-x2）=-hx2，而-xf（x）=-x•hx=-hx2，
∴f（-x2）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴f(x)=
|
（Ⅲ）当x＞0时，g(x)=
| 1 |
| f(x) |
| 1 |
| kx |
| 1 |
| kx2 |
| x2-1 |
| kx2 |
令g'（x）=0，得x=1或x=-1；
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，∴g（x）是单调递减函数；
当x∈[1，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数；
所以当x=1时，函数g（x）在（0，+∞）内取得极小值，极小值为g(1)=
| 1 |
| k |