问题
解答题
已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x) (Ⅰ)证明f(0)=0; (Ⅱ)证明f(x)=
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k>0时,设g(x)=
|
答案
证明(Ⅰ)令x=0,则f(0)=af(0),
∵a>0,
∴f(0)=0.
(Ⅱ)①令x=a,
∵a>0,
∴x>0,则f(x2)=xf(x).
假设x≥0时,f(x)=kx(k∈R),则f(x2)=kx2,而xf(x)=x•kx=kx2,
∴f(x2)=xf(x),即f(x)=kx成立.
②令x=-a,
∵a>0,
∴x<0,f(-x2)=-xf(x)
假设x<0时,f(x)=hx(h∈R),则f(-x2)=-hx2,而-xf(x)=-x•hx=-hx2,
∴f(-x2)=-xf(x),即f(x)=hx成立.
∴f(x)=
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(Ⅲ)当x>0时,g(x)=
1 |
f(x) |
1 |
kx |
1 |
kx2 |
x2-1 |
kx2 |
令g'(x)=0,得x=1或x=-1;
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,∴g(x)是单调递减函数;
当x∈[1,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)是单调递增函数;
所以当x=1时,函数g(x)在(0,+∞)内取得极小值,极小值为g(1)=
1 |
k |