问题
解答题
| 设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2） （1）求证：f（1）=f（-1）=0； （2）求证：y=f（x）是偶函数； （3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x-
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答案
（1）令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x1=x2=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，
令x1=x，x2=-1
∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）=f（-x）
所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．
（3）不等式f(x)+f(x-
)≤0．1 2
即f[x(x-
)]≤f(1)1 2
∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数
且f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∴|x(x-
)|≤1，1 2
解得：
≤x＜0或1- 17 4
＜x≤1 2
．1+ 17 4