问题
解答题
| 已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1． （1）求f(
（2）若数列{an}满足an=f(0)+f(
（3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由． |
答案
（1）令x=
，f(1 2
)+f(1-1 2
)=1，∴f(1 2
)=1 2
，1 2
令x=
，f(1 n
)+f(1 n
)=1n-1 n
（2）∵an=f(0)+f(
)+f(1 n
)++f(2 n
)+f(1)①n-1 n
∴an=f(1)+f(
)+f(n-1 n
)++f(n-2 n
)+f(0)②1 n
由（Ⅰ），知f(
)+f(1 n
)=1n-1 n
∴①+②，得2an=(n+1)．∴an=
．n+1 2
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=（n+1）•2n
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
即Sn=n•2n+1
要使得不等式knSn＞4bn恒成立，
即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4
设g（n）=kn2-2n-2
当k＞4时，由于对称轴直线n=
＜1，1 k
且g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴不等式knSn＞bn恒成立
即当实数k大于4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立．