∵二次函数y=x²-2bx+b²+c①的图象与直线y=1-x②只有一个公共点，

∴由①②组成的方程组只有一组解，把②代入①，整理得，x²+（1-2b）x+b²+c-1=0，

∴△=0，即（1-2b）²-4（b²+c-1）=0，得4b+4c=5③，

又∵二次函数y=x²-2bx+b²+c的图象的顶点坐标为（b，c），而顶点在二次函数y=ax²（a≠0）的图象上，

∴c=ab²④，

由③④得，4ab²+4b-5=0，（a≠0）

∴△≥0，即16+4×4a×5≥0，解得a≥-

所以a的取值范围为a≥-