问题
解答题
| 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＜0时，f（x）＜0． （1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性 （2）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． |
答案
（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，由题意知f（x1-x2）＜0，则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是增函数．
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
]+f(3+2m)＞0，4 sinθ+cosθ
只须 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
]＞-f(3+2m)=f(-3-2m)． 4 sinθ+cosθ
又由f（x）为单调增函数有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
＞-3-2m．4 sinθ+cosθ
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵θ∈[0，
]，∴t=π 2
sin(θ+2
)∈[1，π 4
]．2
原命题等价于 t2-1-(m+2)t-
+3+2m＞0对t∈[1，4 t
] 恒成立，2
∴(2-t)m＞2t-t2+
-2，即m＞4 t
=t+t(2-t)+
(2-t)2 t 2-t
，2 t
令g(t)=t+
，g(t)在[1，2 t
]上为减函数，故 g（t）的最大值为3，∴m＞3时，原命题成立．2
