问题 解答题
已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x<0时,f(x)<0.
(1)判断并证明f(x)的单调性和奇偶性
(2)是否存在这样的实数m,当θ∈[0,
π
2
]
时,使不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)>0

对所有θ恒成立,如存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
答案

(1)令x=y=0,有f(0)=0,令x1=x,x2=-x,有f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,

即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.

在R上任取x1<x2,则x1-x2<0,由题意知f(x1-x2)<0,则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,

故f(x)是增函数.

(2)要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)>0,

只须 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4
sinθ+cosθ
]>-f(3+2m)=f(-3-2m).        

又由f(x)为单调增函数有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4
sinθ+cosθ
>-3-2m.

令t=sinθ+cosθ,则sin2θ=t2-1,∵θ∈[0,

π
2
],∴t=
2
sin(θ+
π
4
)∈[1,
2
]

原命题等价于 t2-1-(m+2)t-

4
t
+3+2m>0对t∈[1,
2
] 恒成立,

(2-t)m>2t-t2+

4
t
-2,即m>
t(2-t)+
2
t
(2-t)
2-t
=t+
2
t

g(t)=t+

2
t
,g(t)在[1,
2
]上为减函数,故 g(t)的最大值为3,∴m>3时,原命题成立.

单项选择题
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