问题
解答题
已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x<0时,f(x)<0. (1)判断并证明f(x)的单调性和奇偶性 (2)是否存在这样的实数m,当θ∈[0,
对所有θ恒成立,如存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. |
答案
(1)令x=y=0,有f(0)=0,令x1=x,x2=-x,有f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
在R上任取x1<x2,则x1-x2<0,由题意知f(x1-x2)<0,则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,
故f(x)是增函数.
(2)要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
]+f(3+2m)>0,4 sinθ+cosθ
只须 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
]>-f(3+2m)=f(-3-2m). 4 sinθ+cosθ
又由f(x)为单调增函数有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
>-3-2m.4 sinθ+cosθ
令t=sinθ+cosθ,则sin2θ=t2-1,∵θ∈[0,
],∴t=π 2
sin(θ+2
)∈[1,π 4
].2
原命题等价于 t2-1-(m+2)t-
+3+2m>0对t∈[1,4 t
] 恒成立,2
∴(2-t)m>2t-t2+
-2,即m>4 t
=t+t(2-t)+
(2-t)2 t 2-t
,2 t
令g(t)=t+
,g(t)在[1,2 t
]上为减函数,故 g(t)的最大值为3,∴m>3时,原命题成立.2